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<!DOCTYPE html>

<title>Signalgeschwindigkeit</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Signalgeschwindigkeit</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>Signalgeschwindigkeit</b> ist diejenige <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a>, mit der sich ein <a href="Signal" title="Signal">Signal</a> ausbreitet. Die Geschwindigkeit, mit der sich die erste <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkung</a> einer <a href="Wellenfront" title="Wellenfront">Wellenfront</a> bewegt, ist die <b>Frontgeschwindigkeit</b>. Diese Geschwindigkeit, und damit auch die Signalgeschwindigkeit, ist immer kleiner als die <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a>. In Kabeln wird sie durch den <a href="Verk%C3%BCrzungsfaktor" title="Verkürzungsfaktor">Verkürzungsfaktor</a> angegeben.

</p><p>Ein Signal, also eine Änderung eines Zustandes, lässt sich als <a href="Wellenpaket" title="Wellenpaket">Wellenpaket</a> beschreiben. Die Geschwindigkeit, mit der sich die <a href="Einh%C3%BCllende" title="Einhüllende">Einhüllende</a> eines solchen Wellenpaketes bewegt, ist die <a href="Gruppengeschwindigkeit" title="Gruppengeschwindigkeit">Gruppengeschwindigkeit</a>. Sie ist im Allgemeinen, insbesondere wenn die <a href="Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> stark von der <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> abhängig oder die <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">Absorption</a> nicht vernachlässigt werden kann, von der Signalgeschwindigkeit zu unterscheiden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Frontgeschwindigkeit_und_Gruppengeschwindigkeit">Frontgeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit</h2></div>

<p>Im 19. Jahrhundert nahm <a href="John_Strutt%2C_3._Baron_Rayleigh" title="John Strutt, 3. Baron Rayleigh">Lord Rayleigh</a> an, dass eine Welle Information und Energie mit Gruppengeschwindigkeit überträgt.<sup id="cite_ref-milonni_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-milonni-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> In <a href="Ausbreitungsmedium" title="Ausbreitungsmedium">Ausbreitungsmedien</a> mit <a href="Dispersion_(Physik)" title="Dispersion (Physik)">anomaler Dispersion</a> ist die Gruppengeschwindigkeit <a href="Proportional" class="mw-redirect" title="Proportional">proportional</a> zum Betrag der Dispersion. Dabei gibt es keine prinzipielle physikalische Grenze; so ist möglich, dass sich das Zentrum eines Wellenpakets mit <a href="%C3%9Cberlichtgeschwindigkeit" title="Überlichtgeschwindigkeit">Überlichtgeschwindigkeit</a> bewegt.

</p><p>Gemäß der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">speziellen Relativitätstheorie</a> ist jedoch die Lichtgeschwindigkeit die höchste Geschwindigkeit, mit der Information übertragen werden kann. <a href="Woldemar_Voigt_(Physiker)" title="Woldemar Voigt (Physiker)">Woldemar Voigt</a> zeigte daher anhand der <a href="Telegraphengleichung" title="Telegraphengleichung">Telegraphengleichung</a>, dass die Geschwindigkeit einer Wellenfront im Fall dieser Telegraphengleichung kleiner als die Gruppengeschwindigkeit ist, und damit die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit unterschieden werden muss.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Die Front einer Welle ist durch eine Oberfläche definiert, hinter der zu einem gewissen Zeitpunkt die <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a> einer Welle identisch Null ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Frontgeschwindigkeit_und_Lichtgeschwindigkeit">Frontgeschwindigkeit und Lichtgeschwindigkeit</h2></div>

<p>Dass die Frontgeschwindigkeit immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, lässt sich zeigen anhand eines allgemeinen Signals der Form<sup id="cite_ref-milonni_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-milonni-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi (x=0,t)=\Theta (t)e^{\mathrm {i} \omega t}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d42995716167a76d389049644d2c1a82a35df0db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.026ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Psi (x=0,t)=\Theta (t)e^{\mathrm {i} \omega t}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit der <a href="Heaviside-Funktion" title="Heaviside-Funktion">Heaviside-Funktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta (t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/415d180b65fdc75e95cb50e5786e6c56989dd416.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Theta (t)}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Wenn sich die Wellenfront <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"></span> dieser Welle nicht mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann, so muss für eine Distanz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x>ct}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x>ct}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d288a4ec0c4a2b3ee62464be1f3564629a44e51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.275ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x>ct}" loading="lazy"></span> die Wellenfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Psi (x,t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi (x,t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f78f255e641e6cd2cd4bcb63183af3a47d84808e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.821ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Psi (x,t)}" loading="lazy"></span> Null sein.

Für die Wellenfunktion

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\,G(x,t-t')\Psi (0,t')}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d32aada9c7f572fac0b1bd05570c712991183c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.499ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \Psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\,G(x,t-t')\Psi (0,t')}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit der <a href="Greensfunktion" class="mw-redirect" title="Greensfunktion">Greensfunktion</a>

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{\mathrm {i} \omega \left(n(\omega ){\frac {x}{c}}-\tau \right)}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34e2ce67d26fbd761acd9af8dd6291b3b96c6dda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.294ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle G(x,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{\mathrm {i} \omega \left(n(\omega ){\frac {x}{c}}-\tau \right)}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>lässt sich dies mithilfe des <a href="Residuensatz" title="Residuensatz">Residuensatzes</a> zeigen.

</p><p>Da für große Frequenzen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega \to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega \to \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/823dad91a82eb52bcbec21ad4c305ae0297c5b99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.384ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \omega \to \infty }" loading="lazy"></span> der <a href="Brechungsindex" title="Brechungsindex">Brechungsindex</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}" loading="lazy"></span> ist, bleibt dort <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{\mathrm {i} \left({\frac {x}{c}}-t\right)}}">

<msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{\mathrm {i} \left({\frac {x}{c}}-t\right)}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4754631748293ec41971b82e7d690ecb429fd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.751ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle e^{\mathrm {i} \left({\frac {x}{c}}-t\right)}}" loading="lazy"></span> als Integrand über. Für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x>ct\Leftrightarrow {\tfrac {x}{c}}-t>0}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x>ct\Leftrightarrow {\tfrac {x}{c}}-t>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c35b2c590bda8053164ab4c3a9aeef0361ba61d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.606ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x>ct\Leftrightarrow {\tfrac {x}{c}}-t>0}" loading="lazy"></span> lässt sich dies als <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegral</a> über die obere Hälfte der <a href="Komplexe_Ebene" class="mw-redirect" title="Komplexe Ebene">komplexen Ebene</a> schreiben. Da der Brechungsindex dort aber <a href="Analytische_Funktion" title="Analytische Funktion">analytisch</a> ist (also keine <a href="Definitionsl%C3%BCcke" title="Definitionslücke">Singularitäten</a> besitzt), ist das Integral Null.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Léon Brillouin: <i>„Wave propagation and group velocity“.</i> Academic Press Inc., New York 1960.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/20/20.html">gregegan.customer.netspace.net.au</a> – Applet, das Gruppen-, Phasen- und Signalgeschwindigkeit einer Welle verdeutlicht.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://webhome.phy.duke.edu/~qelectron/proj/infv/fast_debate.php">Zur Geschichte der Begriffe bei Sommerfeld, Brillouin, Duke University</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-milonni-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-milonni_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-milonni_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">P.W. Milonni: <cite style="font-style:italic">Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light</cite>. CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3433-2, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>26</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=kE8OUCvt7ecC&pg=PA26#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Signalgeschwindigkeit&rft.au=P.W.+Milonni&rft.btitle=Fast+Light%2C+Slow+Light+and+Left-Handed+Light&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=1420034332&rft.pages=26&rft.pub=CRC+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Léon Brillouin: <cite style="font-style:italic">Wave Propagation and Group Velocity</cite>. Academic Press, 2013, ISBN 1-4832-7601-5, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=gdQ3BQAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Signalgeschwindigkeit&rft.au=L%C3%A9on+Brillouin&rft.btitle=Wave+Propagation+and+Group+Velocity&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=1483276015&rft.pages=10&rft.pub=Academic+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf"><a href="Wellengeschwindigkeit" title="Wellengeschwindigkeit">Wellengeschwindigkeiten</a></div>

<td><a href="Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a>

</td>

<td><a href="Gruppengeschwindigkeit" title="Gruppengeschwindigkeit">Gruppengeschwindigkeit</a>

</td>

<td><a class="mw-selflink selflink">Signalgeschwindigkeit</a>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Phasenlaufzeit" title="Phasenlaufzeit">Phasenlaufzeit</a>

</td>

<td><a href="Gruppenlaufzeit" title="Gruppenlaufzeit">Gruppenlaufzeit</a>

</td>

<td><a href="Signallaufzeit" title="Signallaufzeit">Signallaufzeit</a>

</td></tr></tbody></table>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>